Haces coherentes sobre variedades algebraicas

El objetivo principal de este trabajo es demostrar los Teoremas de Anulamiento sobre variedades afines y proyectivas y el Teorema de Finitud sobre variedades proyectivas. El conocimiento de estos teoremas es fundamental para la demostración del Teorema de Riemann-Roch, el cual se incluye en este trabajo como una aplicación de ´estos para el caso de curvas proyectivas suaves. La demostración del Teorema de Riemann-Roch que presento es una demostración muy bonita y sencilla del libro ✭✭Algebraic Geometry✮✮ de Robin Hartshorne [4]

Familias de superficies de Riemann, uniformización y aritmeticidad

Tesis doctoral inèdita leída en la Universidad Autónoma de Madrid, Facultad de Ciencias, Departamento de Matemáticas. Fecha de lectura: 02/07/201

Sumas de Gauss y funciones zeta de hipersuperficies diagonales

A lo largo de este trabajo abordaremos algunos casos particulares de las conjeturas de Weil. En primer lugar estudiaremos la definición de función zeta de una variedad y la formulación de las conjeturas de Weil, con su respectiva motivación. Seguidamente, introduciremos toda la teoría de sumas de Gauss y de Jacobi, partiendo de la base de la teoría de caracteres de un grupo abeliano, para obtener resultados sobre el cálculo del número de puntos de ciertas variedades sobre cuerpos de característica positiva (y veremos por el camino otra aplicación de las sumas de Gauss: la demostración de la ley de reciprocidad cuadrática). Finalmente probaremos la relación de Hasse-Davenport, que nos permite elevar sumas de un cuerpo base a sus extensiones. En el tercer capítulo, siguiendo la línea de Weil, utilizaremos sumas exponenciales para hallar el número de puntos de una hipersuperficie diagonal afín, es decir, dada por la ecuación a1xk11 + a2xk22 +··· + anx kn n = a. A partir de este resultado, mediante ciertas consideraciones sobre los exponentes, estaremos en condiciones de escribir de manera explícita el número de puntos de una hipersuperficie diagonal proyectiva, y comprobar que en efecto se cumplen las conjeturas de Weil. Finalmente, utilizaremos herramientas más avanzadas de geometría algebraica para esbozar la prueba de las conjeturas de Weil para curvas proyectivas, dando por conocidos algunos resultados de mayor profundidad como el teorema de Riemann-Roch o la dualidad de Serre.Throughout this dissertation we will be addressing several particular instances of the Weil conjectures. First we will study the definition of the zeta function of a variety and the formulation (and the motivation) of the Weil conjectures. Afterwards, we introduce the theory Gauss and Jacobi sums, starting from the theory of characters of an abelian group, to get results on the number of points of certain varieties over fields of positive characteristic (developping on the way another application of Gauss sums: the law of quadratic reciprocity). We also prove the celebrated Hasse–Davenport relation, that allows us to lift sums from a base field to its extensions. In the third chapter, following Weil’s path, we use exponential sums to find the number of affine points in a diagonal hypersurface defined by a1xk11 + a2xk22 +··· + anx kn n = a. From this result, by studying the behavior with respect to the exponents, we can describe the number of projective points of the homogeneization of the variety, which allows us to find the zeta function and check that the four conjectures by Weil are indeed true. Finally, we use some more advanced tools from algebraic geometry to sketch the proof of the Weil conjectures for curves, without proving some results like the Riemann-Roch theorem or Serre duality.Universidad de Sevilla. Grado en Matemática

Puntos de weierstrass y curvas sobre cuerpos finitos

El estudio de puntos con coordenadas enteras o racionales en curvas y superficies, es decir definidas por ecuaciones del tipo f(x; y) = 0 ó f(x; y; z) = 0 data desde el siglo XII A.C. Sorprendentemente, el mismo problema en cuerpos finitos es de gran importancia para la teoría de números y códigos; pues este, es equivalente a la hipótesis de Riemann sobre cuerpos de funciones y los parámetros de los códigos de Goppa dependen fuertemente del número de puntos racionales de la curva con la que se inducen. Este trabajo tiene como finalidad, dar una prueba detallada de la hipótesis de Riemann sobre cuerpos finitos por medio de la teoría de puntos de Weierstrass. Dado un sistema lineal sin puntos básicos o un morfísmo que va de la curva al espacio proyectivo enésimo, se obtiene una cota para el número de puntos racionales. Se llega a la cota por medio de una aproximación lineal"; usando el plano osculador y los ordenes de Frobenius, que son invariantes de la curva respecto al sistema lineal (morfísmo) y al cuerpo finito de base. Con dicha cota se prueba la hipótesis de Riemann para curvas sobre cuerpos finitos y se mejora la cota de Hasse-Weil en algunos casos particulares.MaestríaMAGISTER EN CIENCIAS - MATEMÁTICA

Transformadas de Fourier-Mukai para fibraciones genéricamente K3 o elípticas

[ES]El objetivo de esta tesis es estudiar haces estables y sus espacios de móduli, usando la teoría de las transformadas de Fourier-Mukai, en esquemas fibrados genéricamente en curvas elípticas o en superficies K3.[EN]The objective of this thesis is to study stable bundles and moduli spaces, using the theory of Fourier-Mukai transforms in schemes generically bundles on elliptic curves or surfaces K3

The Riemann-Hurwitz theorem

RESUMEN: En este trabajo se estudia el teorema o fórmula de Riemann-Hurwitz desde dos puntos de vista. Por un lado se define la noción de género de una curva algebraica en el plano proyectivo a partir de la desigualdad de Riemann, que relaciona el grado de cualquier divisor D del cuerpo de funciones racionales de la curva con la dimensión de su espacio L(D) correspondiente. El teorema de Riemann-Hurwitz relaciona los géneros de dos curvas proyectivas planas no singulares entre las que existe un morfismo, a través de sus índices de ramificación y su grado. Paralelamente, se estudian las aplicaciones holomorfas entre superficies de Riemann y, haciendo uso de la definición topológica de género, se ha demostrado el teorema de Riemann-Hurwitz utilizando los conceptos de grado e índice de ramificación de la aplicación holomorfa entre dos superficies de Riemann compactas. Finalmente se comprueba que las curvas algebraicas no singulares en el plano proyectivo complejo son superficies de Riemann y las nociones de género algebraico y topológico coinciden.ABSTRACT: In this dissertation Riemann-Hurwitz theorem is studied from two different points of view. On the one hand, the genus of an algebraic projective plane curve is defined in terms of Riemann's inequality, which connects the degree of any divisor over the field of rational functions of the curve with the dimension of its linear space L(D). Riemann-Hurwitz theorem relates the genus of two non singular plane projective curves through the degree and ramification index of the morphism bewteen both of them. On the other hand, we study the concept of ramification over holomorphic functions between Riemann surfaces, which enables the proof of the Riemann-Hurwitz theorem using the topological definition of genus. Finally, it is proved that algebraic complex projective non singular plane curves are Riemann surfaces. Furthermore, both the algebraic and topological definitions of genus are equivalent.Grado en Matemática

Teoría de números. Grado en Matemáticas

El presente texto está concebido por el autor como el manual de la asignatura cuatrimestral Teoría de Números, del cuarto curso del Grado de Matemáticas de la UEX. Este curso es una introducción a la Teoría de Números y hacemos un especial énfasis en la relación de esta teoría con la Teoría de Curvas Algebraicas. Suponemos que los alumnos han cursado antes un curso de Teoría de Galois (Álgebra I) y un curso de Variedades Algebraicas (Álgebra II). El manual está divido en cuatro temas. En cada tema incluimos un cuestionario, una lista de problemas (con sus soluciones) y la biografía de un matemático relevante (en inglés).The present text is conceived by the author as the manual of the quarterly subject Theory of Numbers, the fourth course of the degree of Mathematics of the UEX. This course is an introduction to the theory of numbers and we make a special emphasis on the relationship of this theory with the theory of algebraic curves. We assume that the students have completed before a course of Galois theory (Algebra I) and a course of algebraic varieties (Algebra II). The manual is divided into four themes. In each issue we include a questionnaire, a list of problems (with their solutions) and the biography of a mathematician relevant (in English)

Teoría de números. Grado en Matemáticas

El presente texto está concebido por el autor como el manual de la asignatura cuatrimestral Teoría de Números, del cuarto curso del Grado de Matemáticas de la UEX. Este curso es una introducción a la Teoría de Números y hacemos un especial énfasis en la relación de esta teoría con la Teoría de Curvas Algebraicas. Suponemos que los alumnos han cursado antes un curso de Teoría de Galois (Álgebra I) y un curso de Variedades Algebraicas (Álgebra II). El manual está divido en cuatro temas. En cada tema incluimos un cuestionario, una lista de problemas (con sus soluciones) y la biografía de un matemático relevante (en inglés).The present text is conceived by the author as the manual of the quarterly subject Theory of Numbers, the fourth course of the degree of Mathematics of the UEX. This course is an introduction to the theory of numbers and we make a special emphasis on the relationship of this theory with the theory of algebraic curves. We assume that the students have completed before a course of Galois theory (Algebra I) and a course of algebraic varieties (Algebra II). The manual is divided into four themes. In each issue we include a questionnaire, a list of problems (with their solutions) and the biography of a mathematician relevant (in English)